Sebaran Peluang Peubah Acak

Statistika

Konsep Dasar

1. Percobaan statistika adalah kegiatan yang hasil akhir keluarannya tidak diketahui di awal, tetapi kemungkinan-kemungkinannya diketahui. 

2. Ruang contoh adalah himpunan semua kemungkinan dari sebuah percobaan statistika. Umumnya dinotasikan S (sample space). Banyaknya semua kemungkinan dinotasikan dengan N(S). Contoh, Ruang contoh dari percobaan pelemparan dadu berisi enam  adalah S= (1,2,3,4,5,6), N(S)= 6.

3. Kejadian (event) adalah sembarang himpunan bagian dari ruang contoh. Umumnya dinotasikan dengan huruf capital. Jika E adalah suatu kejadian, N(E) adalah banyaknya kemungkinan dari kejadian tersebut. Contoh : percobaan pelemparan dadu bersisi enam, E= (2,4,6) adalah kejadian munculnya sisi bermata genap N(E) =3.

Sebaran Peluang

Peluang adalah ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Peluang terjadinya kejadian E, dinotasikan P(E), yaitu rasio antara terjadinya E dengan banyaknya percobaan yang dilakukan. Misal dari 1000 kali melempar sekeping uang logam, muncul sisi muka sebanyak 650 kali, maka P(M)=0,65, dimana P(E)= N(E)/N(S).

Aksioma peluang. 

Jika E adalah suatu kejadian, berlaku 0≤ P(E) ≤1, dengan P(S)= 1. Jika E1, E2, … adalah kejadian-kejadian yang saling lepas, maka P(E1ᴗE2…) = P(E1) + P(E2) + …..

Contoh, hasil melempar dua dadu adalah

S=(11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66), N(S) = 36.

E adalah kejadian muncul sisi kembar, E=(11,22,33,44,55,66), N(E)=6, P(E) = 6/26

F adalah kejadian muncul sisi berjumlah 9, F=(45,54,36,63), N(F)=4, P(F)=4/36

G adalah kejadian muncul sisi kembar atau berjumlah 9, G=EᴗF dan EᴖF = ᴓ, maka

P(G)= P(E) + P(F) = 10/36

Peubah Acak (Random variable)

Peubah acak  atau variabel acak adalah deskripsi numerik dari hasil percobaan. Variabel acak pada umumnya menghubungkan nilai numerik dengan hasil percobaan, sedangkan hasil percobaan ada dua jenis yaitu berupa hasil hitungan (diskrit) dan hasil pengukuran (kontinu). Oleh sebab itu variabel acak dibagi menjadi dua jenis, yaitu variabel acak diskrit, dan variabel acak kontinu.

1. Variabel acak diskrit : mengambil nilai-nilai tertentu yang terpisah, yang umumnya dihasilkan dari penghitungan suatu objek. Contoh : 

Percobaan : Dilakukan pencatatan pengunjung restoran  pada hari tertentu,

Variabel acak : Banyaknya pengunjung

Kemungkinan nilai-nilai variabel acak : 0,1,2,3,4

2. Variabel acak kontinu : Pengukuran yang akan menghasilkan ukuran berbeda-beda tergantung siapa yang melakukan dan tingkat ketelitian yang digunaan, seperti pada lebar ruangan, tinggi badan, atau berat badan seseorang. Contoh :

Percobaan : Isi botol minuman (maksimum 600ml)

Variabel acak : Jumlah mililiter

Kemungkinan nilai-nilai variabel acak : 0 ≤ x ≤ 600

Distribusi Peluang (Probabilitas) 

1. Distribusi probabilitas variabel acak diskrit

Hal ini menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. 

Fungsi probabilitas variabel acak  diskrit X dinotasikan sebagai p(x) = P(X = x) = probabilitas bahwa variabel X (Huruf besar) mengambil nilai x (Huruf kecil).

Contoh : 

Percobaan : Jumlah mobil yang terjual dalam sehari

Jumlah mobil terjual dalam sehari	Jumlah hari	p(x)
0	54	0,18
1	117	0,39
2	72	0,24
3	42	0,14
4	12	0,04
5	3	0,01
Total	300	1,00

p(0) menyatakan bahwa 0 mobil terjual per hari, dan itu sebanyak 54 hari, jadi probabilitas 0 mobil akan terjual perhari adalah 54/300= 0,18. Begitu juga dengan angka-angka dibawahnya. Misalkan ingin menghitung probabilitas 3 mobil atau lebih akan terjual perhari, maka dapat dijumlahkan p(3)+p(4)+p(5) = 0,14+0,04+0,01 = 0,19.

Syarat yang harus dipenuhi untuk fungsi probabilitas diskrit :

1.       p(x) ≥ 0 atau 0 ≤ p(x) ≤ 1

2.       Σ p(x) = 1

Fungsi probabilitas kumulatif variabel acak diskrit :

- Menyatakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas yang lebih kecil atau sama dengan suatu nilai yang ditetapkan. Contoh (dengan data seperti diatas) : Jika ingin mengitung probabilitas bahwa mobil terjual dalam sehari kurang dari atau sama dengan 3, maka dijumlah nilai probabilitas dari x=0, x=1, x=2, dan x=3, hasilnya yaitu = 0,95. 

- Fungsi probabilitas kumulatif variabel diskrit adalah 

F(x) = P(X ≤ x), dimana F(x) = P(X ≤ x) menyatakan fungsi probabilitas kumulatif pada titik X=x yang merupakan jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x.

x	F(x)
0	0,18
1	0,57 (0,18 + 0,39)
2	0,81 (0,57 + 0,24)
3	0,95 (0,81 + 0,14)
4	0,99 (0,95 + 0,04)
5	1,00 (0,99 + 0,01)

Berbagi :